AP微积分AB和BC速成复习计划（Crash Course） 中文版本，这份计划帮助你快速掌握考试的核心知识点、公式和解题技巧，适合考前冲刺或快速复习。

AP微积分AB与BC的区别

• AP微积分AB：涵盖极限、导数、积分及其基本应用。
• AP微积分BC：包括AB的所有内容，另外增加了参数方程、极坐标、向量函数和级数等更高级的内容。

如果你考的是BC，在掌握AB内容后，务必复习BC的额外部分。

速成复习计划

第1天：极限与连续性

核心概念

1. 极限：

   • 定义：lim⁡x→cf(x)limx→c​f(x) 表示当 $x$ 接近 $c$ 时，$f(x)$ 的值趋近于某个数。
   • 求极限的方法：
     • 直接代入：如果函数在点$c$处连续，直接代入即可。
     • 因式分解与约简：对于分式函数，因式分解后约简再求极限。
     • 有理化：适用于根号形式的极限。
     • 洛必达法则：当极限形式为 0000​ 或 ∞∞∞∞​ 时，使用 lim⁡x→cf(x)g(x)=lim⁡x→cf′(x)g′(x)limx→c​g(x)f(x)​=limx→c​g′(x)f′(x)​。

2. 无穷极限与水平渐近线：

   • 当 $x\to \infty$ 或 $x\to -\infty$ 时，分析函数的行为。
   • 水平渐近线：比较分式函数分子和分母的次数。

3. 连续性：

   • 函数 $f(x)$ 在点 $x=c$ 连续的条件：
     1. $f(c)$ 存在；
     2. lim⁡x→cf(x)limx→c​f(x) 存在；
     3. lim⁡x→cf(x)=f(c)limx→c​f(x)=f(c)。

练习

• 计算极限，包括简单和复杂形式。
• 判断函数在某点是否连续，并分析不连续点的类型。

第2天：导数及其应用

核心概念

1. 导数的定义：

   f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf′(x)=h→0lim​hf(x+h)−f(x)​
   • 几何意义：导数表示曲线某点的切线斜率。

2. 导数计算规则：

   • 幂法则：ddx[xn]=nxn−1dxd​[xn]=nxn−1。
   • 和/差法则：ddx[f(x)±g(x)]=f′(x)±g′(x)dxd​[f(x)±g(x)]=f′(x)±g′(x)。
   • 积法则：ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)dxd​[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)。
   • 商法则：ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2dxd​[g(x)f(x)​]=[g(x)]2f′(x)g(x)−f(x)g′(x)​。
   • 链式法则：ddx[f(g(x))]=f′(g(x))g′(x)dxd​[f(g(x))]=f′(g(x))g′(x)。

3. 导数的应用：

   • 切线与法线：
     • 切线方程：y−y1=f′(x1)(x−x1)y−y1​=f′(x1​)(x−x1​)。
     • 法线方程：斜率为 −1f′(x1)−f′(x1​)1​。
   • 单调性与极值：
     • 一阶导数判断函数的增减性。
     • 二阶导数判断凹凸性和拐点。
   • 优化问题：求函数的最大值或最小值（常用于实际问题）。
   • 相关变化率问题：利用隐函数求导，分析变量之间的变化关系。

练习

• 计算函数的导数。
• 解优化问题和相关变化率问题。
• 使用导数分析函数的单调性、极值和拐点。

第3天：积分及其应用

核心概念

1. 积分的定义：

   • 不定积分：$\int f(x)dx=F(x)+C$，其中 F′(x)=f(x)F′(x)=f(x)。
   • 定积分：∫abf(x)dx∫ab​f(x)dx 表示曲线 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 下的面积。

2. 积分计算规则：

   • 幂法则：∫xndx=xn+1n+1+C∫xndx=n+1xn+1​+C（n≠−1n=−1）。
   • 常数倍法则：$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$。
   • 和/差法则：$\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$。
   • 换元法：令 $u=g(x)$，则 du=g′(x)dxdu=g′(x)dx。

3. 积分的应用：

   • 曲线下面积：∫abf(x)dx∫ab​f(x)dx。
   • 旋转体体积：
     • 盘法：V=π∫ab[f(x)]2dxV=π∫ab​[f(x)]2dx。
     • 环法：V=π∫ab([R(x)]2−[r(x)]2)dxV=π∫ab​([R(x)]2−[r(x)]2)dx。
   • 函数的平均值：
     favg=1b−a∫abf(x)dxfavg​=b−a1​∫ab​f(x)dx

练习

• 计算不定积分和定积分。
• 利用积分求面积和体积。

第4天：BC内容（高级部分）

核心概念

1. 参数方程与极坐标：

   • 参数方程的导数：
     dydx=dydtdxdtdxdy​=dtdx​dtdy​​
   • 极坐标曲线的面积：
     A=12∫θ1θ2[r(θ)]2dθA=21​∫θ1​θ2​​[r(θ)]2dθ

2. 级数与序列：

   • 收敛性测试：
     • 几何级数：当 $|r|<1$ 时收敛。
     • $p$-级数：∑1np∑np1​ 当 $p>1$ 时收敛。
     • 比例测试：若 lim⁡n→∞∣an+1an∣<1limn→∞​​an​an+1​​​<1，则收敛。
     • 根测试：若 lim⁡n→∞∣an∣n<1limn→∞​n∣an​∣​<1，则收敛。
   • 泰勒级数与麦克劳林级数：
     • 泰勒级数：f(x)=∑n=0∞f(n)(c)n!(x−c)nf(x)=∑n=0∞​n!f(n)(c)​(x−c)n。
     • 麦克劳林级数是泰勒级数的特例，中心点为 $c=0$。

练习

• 求参数方程和极坐标的导数、面积。
• 测试级数的收敛性。
• 展开泰勒级数。

第5天：模拟考试

• 做一套完整的AP微积分AB或BC模拟试卷。

  • 选择题：
    • 无计算器部分：30题，75分钟。
    • 允许计算器部分：15题，45分钟。
  • 自由回答题：
    • 允许计算器部分：2题，30分钟。
    • 无计算器部分：4题，60分钟。

• 检查错题并分析薄弱环节。

第6天：公式记忆与薄弱点复习

1. 常用公式：

   • 导数：
     • ddx[sin⁡x]=cos⁡xdxd​[sinx]=cosx，ddx[cos⁡x]=−sin⁡xdxd​[cosx]=−sinx。
     • ddx[ln⁡x]=1xdxd​[lnx]=x1​，ddx[ex]=exdxd​[ex]=ex。
   • 积分：
     • $\int \sin xdx=-\cos x+C$，$\int \cos xdx=\sin x+C$。
     • ∫exdx=ex+C∫exdx=ex+C，∫1xdx=ln⁡∣x∣+C∫x1​dx=ln∣x∣+C。

2. 重点复习薄弱环节。

第7天：最后冲刺与考试技巧

1. 最后复习：

   • 重新回顾公式和易错点。
   • 做几道综合性题目。

2. 考试技巧：

   • 时间分配：不要在一道题上花太多时间。
   • 多选题：先排除明显错误选项。
   • 自由回答题：写出完整步骤，争取部分分。
   • 熟练使用图形计算器（如TI-84或TI-Nspire）。

推荐资源

1. 教材：

   • 《AP Calculus AB/BC Crash Course》（REA出版）。
   • 《Princeton Review: AP Calculus AB/BC Prep》。
   • 《Barron’s AP Calculus》。

2. 在线资源：

   • Khan Academy（免费AP微积分课程）。
   • College Board官方AP课堂。

3. 计算器：

   • TI-84 Plus或TI-Nspire，熟悉其图形绘制、数值积分和方程求解功能。

通过这个7天速成计划，你可以快速掌握AP微积分AB和BC的核心内容，考出理想成绩！祝你好运！

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